최단 경로

가장 빠르게 도달하는 방법

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최단 경로(Shortest path) 알고리즘은 말 그대로 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘이다. 그래서 '길 찾기' 문제라고도 불린다.

 

최단 경로 문제는 보통 그래프를 이용해 표현하는데 각 지점(국가 or 마을 등)은 그래프에서 '노드'로 표현되고, 지점간 연결된 도로는 그래프에서 '간선'으로 표현된다. 또한 실제 코딩테스트에서는 최단 경로를 모두 출력하는 문제보다는 단순히 최단 거리를 출력하도록 요구하는 문제가 많이 출력된다.

 

코딩 테스트 수준에서는 다익스트라 최단 경로와 플로이드 워셜 알고리즘 유형만 파악해도 충분하다. 더불어 앞서 공부한 그리디 알고리즘과 다이나믹 프로그래밍 알고리즘이 최단 경로 알고리즘에 그대로 적용된다는 특징이 있다.

 

다익스트라 최단 경로 알고리즘

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다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘이다. 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 '음의 간선'이 없을 때 정상적으로 동작한다.

 

다익스트라 최단 경로 알고리즘은 기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류된다. 매번 '가장 비용이 적은 노드'를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문이다. 알고리즘의 원리를 간략히 설명하면 다음과 같다.

1. 출발 노드를 설정한다.
2. 최단 거리 테이블을 초기화한다.
3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
5. 위 과정에서 3, 4번을 반복한다.

다익스트라 알고리즘은 최단 경로를 구하는 과정에서 '각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리' 정보를 항상 1차원 리스트에 저장하며 리스트(최단 거리 테이블)를 계속 갱신한다는 특징이 있다.

 

다익스트라 알고리즘을 구현하는 방법은 2가지이다.

1. 구현하기 쉽지만 느리게 동작하는 코드
2. 구현하기에 조금 더 까다롭지만 빠르게 동작하는 코드

코딩테스트를 준비한다면 방법 2를 정확히 이해하고 구현할 수 있을 때까지 연습해야 한다. 또한 최단 경로 알고리즘을 응용해서 풀 수 있는 고난이도 문제들이 많으므로 방법 2를 이해하고 정확히 구현할 수 있다면 다양한 고난이도 문제를 만났을 때에도 도움을 얻을 수 있다.

 

우선 먼저 다익스트라 알고리즘의 동작 원리를 살펴보자. 다음과 같은 그래프가 있을 때 1번 노드에서 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 구하는 문제를 생각해보자.

 

예시에서 출발 노드를 1이라 하겠다. 1번 노드에서 다른 모든 노드로의 최단 거리를 계산해볼 것이다. 초기 상태에서는 다른 모든 노드로 가는 최단 거리를 '무한'으로 초기화한다. 여기서는 1e9(10억)을 무한으로 사용하겠다.

 

step 0.

먼저 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하는데, 출발 노드에서 출발 노드로의 거리는 0으로 보기 때문에 처음에는 출발 노드가 선택된다.

 

step 1.

이제 1번 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산한다. 즉, 1번 노드아 연결된 모든 간선을 하나씩 확인하면 된다. 현재 1번 노드까지 오는 비용은 0이므로, 1번 노드를 거쳐서 2번, 3번, 4번 노드로 가는 최소 비용은 차례대로 2(0+2), 5(0+5), 1(0+1)이다. 현재 2번, 3번, 4번 노드로 가는 비용이 '무한'으로 설정되어 있는데, 세 노드에 대하여 더 짧은 경로를 찾았으므로 각각 새로운 값으로 갱신한다. 처리된 결과는 다음 그림과 같다. 현재 처리 중인 노드와 간선은 하늘색으로, 이미 처리한 노드는 회색, 이미 처리한 간선은 점선으로 표현했다.

 

step 2.

이후의 모든 단계에서도 마찬가지로 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 한다. 따라서 step 2에서는 4번 노드가 선택된다. 이어서 4번 노드를 거쳐서 갈 수 있는 노드를 확인한다. 4번 노드에서 갈 수 있는 노드는 3번과 5번이다. 이때 4번 노드까지의 최단거리는 1이므로 4번 노드를 거쳐서 3번과 5번 노드로 가는 최소 비용은 차례대로 4(1+3), 2(1+1)이다. 이 두 값은 기존의 리스트에 담겨 있던 값보다 작으므로 다음처럼 리스트가 갱신된다.

 

+) 4번 노드까지 거리는 1로 결정이 되어 바뀌지 않는다. 다익스트라 알고리즘이 그리디 알고리즘인 이유는 매 step 마다 거리가 가장 짧은 노드를 고를 때, 출발점과 해당 노드에 대한 최단 경로가 결정이 되고 바뀌지 않기 때문이다.

 

step 3.

step 3에서는 2번 노드가 선택된다. 2번과 5번 노드까지의 최단 거리가 2로 값이 같은데, 이럴 때는 일반적으로 번호가 작은 노드를 선택한다. 그리고 2번 노드를 거쳐서 도달할 수 있는 노드 중에서 거리가 더 짧은 경우가 있는지 확인한다. 이번 단계에서 2번 노드를 거쳐서 가는 경우, 현재의 최단 거리를 더 짧게 갱신할 수 있는 방법은 없다.

예를 들어 2번 노드를 거쳐서 3번 노드로 이동하는 경우, 5(2+3)만큼의 비용이 발생한다. 하지만 이미 현재 최단 거리 테이블에서 3번 노드까지의 최단 거리는 4이므로, 값이 갱신되지 않는다.

+) 여기서 2 -> 4와 같이 이미 방문 처리된 노드라면 무시하는 방법을 사용할 수도 있다. 이미 방문 처리된 노드는 최단 거리 값이 이미 결정되었기 때문이다.

 

step 4.

이번에는 5번 노드가 선택된다. 5번 노드를 거쳐 3번과 6번 노드로 갈 수 있다. 현재 5번 노드까지 가는 최단 거리가 2이므로 5번 노드에서 3번 노드로 가는 거리인 1을 더한 3이 기존 값인 4보다 작기 때문에 새로운 값 3으로 갱신된다. 또한 6번 노드로 가는 거리도 마찬가지로 4로 갱신된다.

 

step 5.

이어서 3번 노드를 선택한 뒤에 동일한 과정을 반복한다.

 

step 6.

6번 노드를 선택한 후 같은 과정을 반복한다. 지금까지의 최종 최단 거리 테이블은 다음과 같다.

 

+) 다만 마지막 노드의 경우 이미 이전 과정에서 최단 경로가 결정되었기 때문에 과정을 수행하지 않아도 된다.

 

다익스트라 최단 경로 알고리즘에서는 '방문하지 않은 노드 중에서 가장 최단 거리가 짧은 노드를 선택'하는 과정을 반복하는데, 이렇게 선택된 노드는 '최단 거리'가 완전히 선택된 노드이므로, 더 이상 알고리즘을 반복해도 최단 거리가 줄어들지 않는다. 다시 말해 다익스트라 알고리즘이 진행되면서 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있다. 

 

다익스트라 알고리즘을 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장된다. 완벽한 형태의 최단 경로까지 구하고자 한다면 소스코드에 추가적인 기능을 더 넣어야 한다. 코딩 테스트에서는 대체로 특정한 노드에서 다른 특정한 노드까지의 최단 거리만을 출력하도록 요청하므로, '최단 경로'까지 모두 출력하는 내용은 다루지 않겠다.

 

방법 1. 간단한 다익스트라 알고리즘

이제 알고리즘을 구현해 보자. 처음에 각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트를 선언한다. 이후에 단계마다 '방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택'하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)힌다.

 

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

간단한 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 O(V2)이다.(V는 노드의 개수) 왜냐하면 총 O(V)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 하고, 현재 노드와 연결된 노드를 매번 일일이 확인하기 때문이다.

따라서 코딩 테스트의 최단 경로 문제에서 전체 노드의 개수가 5,000개 이하라면 일반적으로 이 코드로 문제를 풀 수 있을 것이다. 하지만 노드의 개수가 10,000개를 넘어가는 문제라면 이 코드로는 문제를 해결하기 어렵다. 노드의 개수 및 간선의 개수가 많을 때는 이어서 설명할 '개선된 다익스트라 알고리즘'을 이용해야 한다.

 

방법 2. 개선된 다익스트라 알고리즘

이제 개선된 다익스트라 알고리즘에 대해 알아보자. 간단한 다익스트라 알고리즘은 '최단 거리가 가장 짧은 노드'를 찾기 위해서, 매번 최단 거리 테이블을 선형적으로 탐색해야 했다. 하지만 최단 거리가 가장 짧은 노드를 단순히 선형적으로 찾는 것이 아니라 최소 힙을 사용한다. 단순히 우선순위 큐인 최소 힙을 이용해서 시작 노드로부터 '거리'가 짧은 노드 순서대로 큐에서 나올 수 있도록 다익스트라 알고리즘을 작성하면 된다.

 

우선순위 큐

우선순위 큐

우선순위 큐를 저용하여도 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일하다. 최단 거리를 저장하기 위한 1차원 리스트(최단 거리 테이블)는 아까와 같이 그대로 이용하고, 현재 가장 가까운 노드를 저장하기 위한 목적으로만 우선순위 큐를 추가로 이용한다고 보면된다.

 

코드는 다음과 같다. 기본적인 입력은 같고 dijstra 함수를 주의 깊게 보자.

우선순위 큐에 (거리, 노드) 튜플을 push, pop하는 식으로 함수를 수행한다. 그래서 초기 상태로 (0, start)를 push한다.

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

- 이처럼 '최단 거리가 가장 짧은 노드'를 가장 짧은 노드를 선택하는 과정을 다익스트라 최단 경로 함수 안에서 우선순위 큐를 이용하는 방식으로 대체할 수 있다.(get_smallest_node() 함수가 필요없다.)

 

- 간단한 다익스트라 알고리즘과 다르게 visited 함수를 사용하지 않았는데, 이는 우선순위 큐에서 pop했을 때의 노드가 이미 처리되었음을(방문했음을) 거리 간에 비교를 통해 확인하기 때문이다. 만약 pop했을 때의 노드에 대한 거리(dist)가 해당 노드의 distance값(최단 거리) 보다 크다면 이미 방문했다고 보기 때문에 해당 노드는 넘어가게 된다.

 

- 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우 힙에 추가한다.(push)

 

개선된 다익스트라 알고리즘의 시간복잡도는 O(ElogV) (E : 간선의 개수, V : 노드의 개수)이다.

기본적으로 E개의 간선을 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사하다고 볼 수 있기 때문에 O(ElogE)로 이해할 수 있다.

이 때 중복 간선을 포함하지 않는 경우, E는 항상 V^2보다 작다. 왜냐하면 모든 노드끼리 서로 다 연결되어 있다고 했을 때 간선의 개수를 약 V^2으로 볼 수 있고 E는 항상 V^2 이하이기 때문이다.

이때 O(ElogE) -> O(ElogV^2) -> O(2ElogV) -> O(ElogV)로 유도할 수 있다.

 

플로이드 워셜 알고리즘

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플로이드 워셜 알고리즘은 '모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우'에 사용할 수 있는 알고리즘이다. 따라서 2차원 리스트에 '최단 거리' 정보를 저장한다.

 

플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍이라는 특징이 있다. 노드의 개수가 N이라고 할 때, N번만큼의 단계를 반복하며 '점화식에 맞게' 2차원 리스트를 갱신하기 때문이다. 

 

플로이드 워셜 알고리즘은 '거쳐 가는 노드'를 기준으로 알고리즘을 수행한다. 예를 들어, 1번 노드에 대해서 확인할 때는 1번 노드를 중간에 거쳐 지나가는 모든 경우를 고려하면 된다. A에서 B로 이동한다고 할 때,  A -> 1번 노드 -> B로가는 비용을 확인한 후에 최단 거리를 갱신한다. 구체적인(K번의 단계에 대한) 점화식은 다음과 같다.

 

말로 풀어 설명하자면, 'A에서 B로 가는 최소 비용'과 'A에서 K를 거쳐 B로 가는 비용'을 비교하여 더 작은 값으로 갱신하겠다는 것이다.

 

소스코드는 다음과 같다.

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if graph[a][b] == 1e9:
            print("INFINITY", end=" ")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()

시간 복잡도는 O(N3)이다. 보통 N이 500이하일 때 사용하는 것을 권장한다.

 

-> 정리 :

다익스트라 알고리즘은 특정 노드에 대해서 다른 노드들에 대한 최단 거리를 구하며 시간 복잡도는 O(ElogV)이다.

플로이드 워셜 알고리즘은 모든 노드에 대해서 다른 노드들에 대한 최단 거리를 구하며 시간 복잡도는 O(N3)이다.

각 알고리즘의 특징과 시간 복잡도를 고려하여 알맞은 알고리즘을 선택하도록 하자.