백준 2887 - 행성 터널

문제

때는 2040년, 이민혁은 우주에 자신만의 왕국을 만들었다. 왕국은 N개의 행성으로 이루어져 있다. 민혁이는 이 행성을 효율적으로 지배하기 위해서 행성을 연결하는 터널을 만들려고 한다.

행성은 3차원 좌표위의 한 점으로 생각하면 된다. 두 행성 A(xA, yA, zA)와 B(xB, yB, zB)를 터널로 연결할 때 드는 비용은 min(|xA-xB|, |yA-yB|, |zA-zB|)이다.

민혁이는 터널을 총 N-1개 건설해서 모든 행성이 서로 연결되게 하려고 한다. 이때, 모든 행성을 터널로 연결하는데 필요한 최소 비용을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 행성의 개수 N이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 100,000) 다음 N개 줄에는 각 행성의 x, y, z좌표가 주어진다. 좌표는 -109보다 크거나 같고, 109보다 작거나 같은 정수이다. 한 위치에 행성이 두 개 이상 있는 경우는 없다. 

출력

첫째 줄에 모든 행성을 터널로 연결하는데 필요한 최소 비용을 출력한다.

 

풀이

문제만 보면 최소 신장 트리를 크루스칼 알고리즘으로 구현하는 방법이 떠오른다.

그러나 행성 간의 모든 간선을 구하는 데 O(N2)이 필요한데 N이 100,000이기 때문에 시간 초과 판정을 받는다.

즉, 모든 간선을 고려할 수 없다.

 

해결 방안은 간선의 비용이 min(|xA-xB|, |yA-yB|, |zA-zB|)임을 활용하는 것이다. x, y, z 축의 값에 대해서 3개의 리스트를 만들고 정렬한다.

정렬한 x축 리스트를 간선으로 쭉 이어 보면 x축에 대한 최소 신장 트리를 생성할 수 있다. 즉, 해당 간선들을 제외하고 다른 간선을 고려할 필요가 없다는 것이다.

 

이미 정렬된 x 리스트 자체만으로도 최소 신장 트리를 만족한다. 여기에 정렬된 y, z 리스트를 추가한 뒤 전체 정렬을 해서 크루스칼 알고리즘을 통해 더 최소 비용을 갖는 최소 신장 트리가 존재하는지 확인하면 된다.

 

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]


# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b


# 노드의 개수 입력받기
n = int(input())
parent = [0] * (n + 1)  # 부모 테이블 초기화

# 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, n + 1):
    parent[i] = i

x = []
y = []
z = []

# 모든 노드에 대한 좌표 값 입력받기
for i in range(1, n + 1):
    data = list(map(int, input().split()))
    x.append((data[0], i))
    y.append((data[1], i))
    z.append((data[2], i))

x.sort()
y.sort()
z.sort()

# 인접한 노드들로부터 간선 정보를 추출하여 처리
for i in range(n - 1):
    # 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((x[i + 1][0] - x[i][0], x[i][1], x[i + 1][1]))
    edges.append((y[i + 1][0] - y[i][0], y[i][1], y[i + 1][1]))
    edges.append((z[i + 1][0] - z[i][0], z[i][1], z[i + 1][1]))

# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
        union_parent(parent, a, b)
        result += cost

print(result)