그래프 이론

서로소 집합

---

서로소 집합 자료구조는 몇몇 그래프 알고리즘에서 매우 중요하게 사용되므로 그래프 알고리즘 이론 전에 설명하고자 한다.

서로소 집합 자료구조란 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조라고 할 수 있다. 서로소 집합 자료구조는 union과 find 이 2개의 연산으로 조작할 수 있다.

union 연산은 2개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산이다. find 연산은 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산이다. 그래서 서로소 집합 자료구조는 union-find 자료구조라고 불리기도 한다.

 

서로소 집합 자료구조

서로소 집합 자료구조를 구현할 때는 트리 자료구조를 이용하여 집합을 표현하는데, 서로소 집합 정보가 주어졌을 때 트리 자료구조를 이용해서 집합을 표현하는 서로소 집합 계산 알고리즘은 다음과 같다.

1. union(합집합) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인한다.
   1. A와 B의 루트 노드 A', B'를 각각 찾는다.
   2. A'를 B'의 부모 노드로 설정한다.(B'가 A'를 가리키도록 한다)
2. 모든 union(합집합) 연산을 처리할 때까지 1번 과정을 반복한다.

예를 들어 전체 집합 {1,2,3,4,5,6}이 6개의 원소로 구성되어 있고 다음과 같이 4개의 union 연산이 주어져 있다고 가정하자.

union 1, 4

union 2, 3

union 2, 4

union 5, 6

 

4개의 연산이 끝난 후의 그래프의 형태는 다음과 같다.

 

초기에 노드의 개수(V) 크기의 부모 테이블을 초기화하고 모든 원소가 자기 자신을 부모로 가지도록 설정한다. 이후 union 연산에 따라 집합을 합치면 되는데 일반적으로 번호가 작은 노드가 부모가 되고, 번호가 큰 노드가 자식이 된다.

 

유의할 점이 세 번째 연산인 union 2, 4이다. 앞선 2개의 union 연산에서 2의 부모는 2이고 4의 부모는 1이 되기 때문에 노드 2가 노드 1을 가리키는 방향으로 그래프가 생성된다.

 

위 예시에서 노드 3의 루트를 찾기 위해서는 먼저 부모 노드인 2로 이동한 다음 노드 2의 부모를 또 확인해서 노드 1로 접근해야 한다. 다시 말해 서로소 집합 알고리즘으로 루트를 찾기 위해서는 재귀적으로 부모를 거슬로 올라가야 한다는 점을 기억하자.

 

기본적인 서로소 집합 알고리즘의 소스코드는 다음과 같다.

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    return x

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

 

여기서 find 함수가 비효율적으로 동작하는데, 최악의 경우 모든 노드를 다 확인하기 때문에 시간 복잡도가 O(V)다.

이러한 find 함수는 아주 간단한 과정으로 최적화가 가능하다. 바로 경로 압축 기법을 적용하면 시간 복잡도를 개선시킬 수 있다. 경로 압축은 find 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 갱신하는 기법이다. 기존의 find 함수를 다음과 같이 변경하면 경로 압축 기법의 구현이 완료된다.

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

결국에 내 부모가 루트가 되기 때문에 find 연산시 앞선 방법보다 더 효율적이다.

 

서로소 집합 알고리즘을 경로 압축 방법으로 구현할 때 노드의 개수가 V개이고, 최대 V-1개의 union 연산과 M개의 find 연산이 가능하다면 시간 복잡도는 대략 O(V+MlogV)라고 생각하면 된다. 예를 들어, 노드의 개수가 1,000개이고 union 및 find 연산이 총 100만 번 수행된다고 하면 약 1,000만 번 가량의 연산이 필요하다고 이해하면 된다.

 

서로소 집합을 활용한 사이클 판별

서로소 집합은 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용할 수 있다. 알고리즘은 다음과 같다.

1. 각 간선을 확인하여 두 노드의 루트 노드를 확인한다.
   1. 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 union 연산을 수행한다.
   2. 루투 노드가 서로 같다면 사이클(Cycle)이 발생한 것이다.
2. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복한다.

cycle = False # 사이클 발생 여부

for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    # 사이클이 발생한 경우 종료
    if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
        cycle = True
        break
    # 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(Union) 연산 수행
    else:
        union_parent(parent, a, b)

if cycle:
    print("사이클이 발생했습니다.")
else:
    print("사이클이 발생하지 않았습니다.")

union과 find 함수는 위에서 제시한 함수와 같다.

 

 

신장 트리

---

신장 트리란 하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미한다.

 

크루스칼 알고리즘

만약 각 간선에 따라 비용이 있는 그래프에서 최소한의 비용으로 신장 트리를 찾아야 할 때가 있다. 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘으로 크루스칼 알고리즘이 있다.

 

크루스칼 알고리즘을 사용하면 가장 적은 비용으로 모든 노드를 연결할 수 있는데 크루스칼 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류된다. 구체적인 알고리즘을 살펴보면 다음과 같다.

1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다.
2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생하는지 확인한다.
   1. 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킨다.
   2. 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다.
3. 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복한다.

크루스칼 알고리즘의 소스코드는 다음과 같다.

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# 모든 간선에 대한 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    # 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost, a, b))

# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
        union_parent(parent, a, b)
        result += cost

print(result)

크루스칼 알고리즘은 간선의 개수가 E개일 때, O(ElogE)의 시간 복잡도를 가진다. 이는 간선을 정렬하는 작업이다.

 

 

위상 정렬

---

위상 정렬은 정렬 알고리즘의 일종이다. 위상 정렬은 순서가 정해져 있는 일련의 작업을 차례대로 수행해야 할 때 사용할 수 있는 알고리즘이다. 즉, 방향 그래프의 모든 노드를 '방향성에 거스리지 않도록 순서대로 나열하는 것'이다.

 

위상 정렬 알고리즘을 자세히 살펴보기 전에, 먼저 진입차수(Indegree)를 알아야 한다. 진입차수란 특정한 노드로 '들어오는' 간선의 개수를 의미한다.

 

위상 정렬의 알고리즘은 다음과 같다.

1. 진입차수가 0인 노드를 큐에 넣는다.
2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.
   1. 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 출발하는 간선을 그래프에서 제거한다.
   2. 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

위상 정렬은 방향성이 있고 사이클이 없는 그래프(DAG)에 대해서만 적용이 가능하다. 만약 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다. 또한 만약 한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우가 있다면, 여러 가지의 답이 존재하게 된다.

 

소스코드는 다음과 같다.

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입 차수를 1 증가
    indegree[b] += 1

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용

    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v + 1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)

    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        # 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)

    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result:
        print(i, end=' ')

topology_sort()

시간 복잡도는 O(V+E)이다.